Развёртка конуса: калькулятор прямого
и усечённого конуса и трубы

Развёртка конуса — выкройка, плоская заготовка, из которой после вальцовки получается конус нужных размеров. Калькулятор считает развёртку полного и усечённого конуса из листового металла: радиусы и угол сектора с учётом толщины листа, габарит заготовки, деление на части под лист и массу, а для трубы — длину развёртки и шаблон среза под углом. Ниже — формулы развёртки, таблица углов сектора, построение развёртки на листе и примеры расчёта.

Как пользоваться калькулятором развёртки конуса

1. Выберите, что разворачиваете. Усечённый конус — переход между двумя диаметрами, воронка, бункер. Полный конус — зонт, колпак, конусное днище с вершиной. Труба — обечайка или отрезок трубы с прямым или косым срезом.
2. Введите размеры из чертежа: диаметр основания D, меньший диаметр d и высоту H — расстояние между основаниями по оси, а не по образующей.
3. Укажите толщину металла и как заданы диаметры — наружные, внутренние или по средней линии. Калькулятор переведёт их на среднюю линию стенки: по ней металл при вальцовке не растягивается и не сжимается.
4. Деление на части. По умолчанию калькулятор проверяет, помещается ли развёртка на лист 3000 × 1500 мм, и если нет — делит её на наименьшее число равных частей.
5. Скачайте DXF. Файл с контуром развёртки в масштабе 1:1 открывается в любой САПР и подходит для лазерной резки.

Результат расчёта появляется сразу при вводе, в трёх блоках:

• Размеры развёртки конуса — наружный и внутренний радиусы, угол сектора, длина образующей конуса и угол при его вершине. Это всё, что нужно, чтобы построить развёртку.
• Заготовка — габарит прямоугольника, в который вписана развёртка, и сколько частей нужно, чтобы она поместилась на лист.
• Масса и площадь поверхности — по материалу и толщине, без отходов раскроя.

Пример в окне в начале страницы — переход с диаметра 500 на 200 мм высотой 300 мм из стали толщиной 3 мм, диаметры наружные. Ниже чертёж развёртки: его можно скачать файлом DXF.

Формулы развёртки прямого кругового конуса

В геометрии прямой круговой конус — тело, которое получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Этот катет является высотой конуса, второй катет — радиусом основания конуса, а гипотенуза — образующей конуса: отрезком от вершины конуса до окружности основания. Все образующие прямого конуса равны, поэтому его боковая поверхность разворачивается на плоскость без складок.

Прямой круговой конус задают радиусом основания r и высотой H. Если разрезать его боковую поверхность по образующей — прямой от вершины до окружности основания — и развернуть на плоскость, получится круговой сектор — часть круга. Радиус сектора равен длине образующей, а длина дуги сектора равна длине окружности основания.

Образующую находят по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катеты которого — высота и радиус основания:

L = √(r² + H²)

Центральный угол сектора — из равенства длины дуги и длины окружности основания, 2πr = π × L × α / 180:

α = 360° × r / L

Площадь боковой поверхности конуса — она же площадь развёртки — S = π × r × L. Площадь поверхности полного конуса с основанием больше на площадь круга π × r², но для заготовки из листа днище считают отдельной деталью.

Пример. Колпак диаметром 400 мм и высотой 300 мм: r = 200 мм, образующая L = √(200² + 300²) = 360,6 мм, угол сектора α = 360 × 200 / 360,6 = 199,7°, площадь развёртки 0,227 м². Результат — сектор чуть больше половины круга. Это расчёт для тонкого листа; для листа 2 мм калькулятор пересчитает диаметр на среднюю линию.

Расчёт развёртки усечённого конуса

Усечённый конус в геометрии — часть полного конуса, у которого срезали вершину плоскостью, параллельной основанию. У усечённого конуса два основания — большее и меньшее, а образующая усечённого конуса — отрезок между их окружностями. Развёртка усечённого конуса — кольцевой сектор: часть кольца между двумя дугами с общим центром в вершине полного конуса. Наружная дуга равна длине окружности большего основания, внутренняя — меньшего.

Образующая усечённого конуса с диаметрами оснований D и d и высотой H:

L = √(((D − d) / 2)² + H²)

Радиусы развёртки находят из подобия треугольников полного конуса и срезанной вершины:

R = D × L / (D − d),   r = R − L,   α = 180° × D / R

• R — наружный радиус развёртки, от вершины до большего основания;
• r — внутренний радиус развёртки, от вершины до меньшего основания;
• α — угол сектора, одинаковый для обеих дуг;
• L — длина образующей, ширина кольцевого сектора.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса — S = π × L × (D + d) / 2, по ней калькулятор считает массу заготовки.

Пример. Переход 500 × 200 мм высотой 300 мм из стали 3 мм с наружными диаметрами. По средней линии D = 496,6 мм, d = 196,6 мм. Образующая L = √(150² + 300²) = 335,4 мм, R = 496,6 × 335,4 / 300 = 555,3 мм, r = 555,3 − 335,4 = 219,9 мм, угол α = 180 × 496,6 / 555,3 = 161°. Проверка результата: длина наружной дуги π × 555,3 × 161 / 180 = 1 560 мм — это длина окружности большего основания усечённого конуса, диаметр 496,6 мм.

Если диаметры почти равны, вершина конуса уходит далеко, радиусы развёртки получаются в несколько метров, а угол сектора — в единицы градусов. Такую развёртку размечают не от вершины, а по хордам — об этом ниже, в разделе о построении на листе. Калькулятор в начале страницы ведёт расчёт развёртки усечённого конуса онлайн по тем же формулам, но с поправкой на толщину листа. При равных диаметрах конус превращается в цилиндр, и его развёртка — прямоугольник: режим «Труба».

Угол сектора развёртки по углу конуса: таблица

Угол сектора зависит только от угла при вершине конуса β: α = 360° × sin(β / 2). Таблица помогает заранее понять, какая получится заготовка: острый конус даёт узкий сектор, тупой — почти полный круг.

Как читать таблицу: у конуса с углом при вершине 60° развёртка — ровно полкруга, а радиус развёртки вдвое больше радиуса основания. Для усечённого конуса угол при вершине считают по продолжению образующих до вершины полного конуса: tg(β / 2) = (D − d) / (2H).

Развёртка конуса из листового металла с учётом толщины

Формулы расчёта выше верны для поверхности конуса без толщины. У листового металла при вальцовке наружная сторона растягивается, внутренняя сжимается, а длину сохраняет только средняя линия стенки. Поэтому развёртку конуса из листа считают по диаметрам средней линии.

• Наружные диаметры уменьшают на s / cos γ, где s — толщина стенки, γ — половина угла при вершине. Стенка конуса наклонена, и по горизонтали она толще листа.
• Внутренние диаметры увеличивают на ту же величину.
• Высоту не меняют: она одинакова для всех слоёв стенки.

В примере с переходом 500 × 200 мм половина угла при вершине γ = 26,6°, и стенка 3 мм по горизонтали занимает 3 / cos 26,6° = 3,35 мм. Если построить развёртку по наружному диаметру, наружная дуга выйдет длиннее на π × 3,35 = 10,5 мм — после вальцовки кромки разойдутся с нахлёстом или зазором, и диаметр не совпадёт с чертежом. Ошибка не зависит от диаметра конуса, только от толщины: для листа 0,5 мм это около 2 мм по дуге, для листа 2 мм — уже 7 мм.

Припуск на шов в развёртку не входит. При сварке встык кромки оставляют как есть, при соединении внахлёст или фальцем к одной кромке добавляют ширину нахлёста.

Развёртка конуса из нескольких частей

Развёртка пологого усечённого конуса большого диаметра — почти полный круг радиусом в несколько метров, и на стандартный лист она не помещается. Тогда кольцевой сектор делят по углу на равные части: каждая — такой же сектор с углом α / n и теми же радиусами. После вальцовки части сваривают продольными швами.

Онлайн-калькулятор считает габарит заготовки усечённого или полного конуса — прямоугольник, в который вписан сектор, — и сравнивает его с листом 3000 × 1500 мм в обоих положениях. Если развёртка целиком не помещается, он берёт наименьшее число частей, при котором помещается каждая. Число частей можно задать и вручную, если швы нужны в определённом количестве. В файл DXF попадает одна часть — её вырезают нужное число раз.

Построение развёртки конуса на листе

Если резать по файлу нечем, выкройку конуса строят вручную по результатам расчёта: R, r и α. Чтобы получить точный конус, построить нужно от вершины — центра обеих дуг:

1. Отметить центр — вершину конуса — и провести циркулем или рулеткой с карандашом дугу радиусом R.
2. Из того же центра провести дугу радиусом r — внутреннюю, для усечённого конуса.
3. Провести первый радиус — прямую из центра через обе дуги.
4. Отложить угол α. Транспортир на большом радиусе ошибается, поэтому угол откладывают хордой: c = 2 × R × sin(α / 2). Для перехода из примера c = 2 × 555,3 × sin 80,5° = 1 095 мм. При угле больше 180° откладывают две хорды по α / 2.
5. Провести второй радиус через конец хорды и проверить развёртку: длина наружной дуги должна равняться π × D по средней линии.

Когда радиус развёртки больше заготовки и центр оказывается за его пределами, дугу строят по точкам: делят окружность основания на 12–24 частей и откладывают точки по таблице координат, как в черчении. Проще и точнее — вырезать заготовку лазером по файлу DXF: контур строится по формуле, без накопления ошибок разметки.

Развёртка трубы и среза под углом

Развёртка трубы — прямоугольник: его длина равна длине окружности трубы, ширина — длине трубы. Длину развёртки трубы считают по формуле πD, но диаметр берут по-разному:

• заготовка из листа для обечайки — по средней линии стенки, D − s;
• шаблон для разметки готовой трубы — по наружному диаметру: шаблон из бумаги или жести оборачивают вокруг трубы и обводят.

Если трубу срезают под углом β к поперечному сечению — для отвода из сегментов, врезки, косого стыка, — линия среза на развёртке становится синусоидой. Высоту шаблона в точке, отстоящей на угол φ от короткой стороны, считают так:

h = L + D / 2 × (1 − cos φ) × tg β

Пример. Трубу 108 × 4 мм режут под 45° — из двух таких отрезков получается отвод 90°. Шаблон по наружному диаметру: длина развёртки π × 108 = 339,3 мм, длина по короткой стороне 150 мм. Окружность делят на 12 частей, через 30°:

От 180° до 360° высоты повторяются в обратном порядке. Калькулятор в режиме «Труба» строит этот шаблон для любого угла и отдаёт его контур в DXF.

Развёртка трубы после гибки — другая задача: там длину заготовки считают по оси трубы через радиус гиба. Для листовых деталей с гибом — калькулятор радиуса гибки и развёртки.

Резка заготовок по развёртке в технопарке

Заготовки конусов, переходов и обечаек вырезают на двух комплексах лазерного раскроя: конструкционная сталь до 16 мм, нержавеющая сталь и алюминий до 10 мм, медь и латунь до 4 мм, лист 3000 × 1500 мм. Резка идёт по файлу DXF или DWG в масштабе 1:1 — подойдёт файл из онлайн-калькулятора развёртки конуса. Технолог проверяет развёртку по чертежу, раскладывает детали на листе и называет цену и срок. Подробнее — на странице «Лазерная резка металла на заказ», требования к файлу — в статье о чертеже для лазерной резки.