Модуль упругости стали: значение, таблица и формулы

Что такое модуль упругости стали

Модуль упругости — физическая величина, которая показывает, насколько материал сопротивляется упругой деформации. Если стальной стержень растянуть небольшой силой, он удлинится, а после снятия нагрузки вернётся к прежней длине. Пока деформация упругая, удлинение пропорционально напряжению — это закон Гука:

σ = E · ε

Здесь σ — нормальное напряжение в поперечном сечении, МПа (нагрузка, делённая на площадь поперечного сечения); ε — относительная деформация, безразмерная (удлинение, делённое на начальную длину); E — модуль продольной упругости, или модуль Юнга, МПа. Отсюда E = σ / ε: модуль упругости равен напряжению, которое растянуло бы образец вдвое, если бы сталь оставалась упругой до такой деформации. На деле сталь начинает течь гораздо раньше — при деформации порядка десятых долей процента.

Модуль упругости — одно из основных механических свойств материала и важный параметр инженерного расчёта строительных конструкций и деталей машин: по нему оценивают изменение формы и размеров элемента под нагрузкой. Чем выше модуль упругости, тем выше жёсткость: под одной и той же нагрузкой деталь меньше удлиняется, сжимается и прогибается. Одинаково модуль упругости работает при растяжении или сжатии; при кручении и срезе ту же роль играет модуль сдвига.

Значение модуля упругости стали

Для расчёта стальных конструкций в России значение модуля упругости задаёт СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции», таблица Б.1. Для прокатной стали и стальных отливок:

В Еврокоде 3 (EN 1993-1-1, п. 3.2.6) принято E = 210 000 Н/мм², в справочниках по материалам встречаются значения от 200 до 210 ГПа. Разница в 2 % на расчёт обычной конструкции почти не влияет, но в одном расчёте значение модуля и нормы должны быть из одного документа: по российским нормам — 2,06·10⁵ МПа. Плотность из той же таблицы используют для расчёта массы — например, в калькуляторе веса металла.

Модуль упругости стали в МПа, ГПа и кгс/см²

Модуль упругости измеряют в тех же единицах, что и напряжение: деформация ε безразмерна. В разных справочниках одно и то же значение модуля упругости стали записано по-разному:

Самая частая ошибка — смешать единицы в одной формуле: подставить модуль в МПа, а длину и площадь — в метрах. Проще всего вести расчёт в ньютонах и миллиметрах: тогда модуль упругости и напряжения — в Н/мм², то есть в МПа, и пересчитывать ничего не нужно.

Модуль сдвига, коэффициент Пуассона и модуль объёмной упругости

Упругие свойства стали описывают три связанные характеристики, и для изотропного материала, каким считают сталь, они выражаются друг через друга.

• Коэффициент Пуассона ν — отношение поперечной деформации к продольной. Растянутый стержень удлиняется и одновременно становится тоньше: у стали поперечное сужение составляет 0,3 от продольного удлинения.
• Модуль сдвига G — сопротивление деформации сдвига, когда слои материала смещаются друг относительно друга: при кручении валов и пружин, при срезе болтов. Связь с модулем Юнга: G = E / (2(1 + ν)) = 206 000 / 2,6 ≈ 79 000 МПа — ровно значение из СП 16.13330.
• Модуль объёмной упругости K — сопротивление изменению объёма при всестороннем сжатии: K = E / (3(1 − 2ν)) = 206 000 / 1,2 ≈ 172 000 МПа. В расчётах деталей машин он почти не нужен, но встречается в задачах о сосудах и гидравлике.

Для пружинной стали ГОСТ 13765-86 задаёт модуль сдвига G = 7,85·10⁴ МПа: через него считают жёсткость и осадку винтовых пружин. Это значение уже заложено в калькулятор пружин сжатия.

Модуль упругости стали, чугуна и канатов: таблица

В той же таблице Б.1 СП 16.13330 приведены значения модуля упругости для других материалов стальных конструкций. У чугуна он заметно ниже, чем у стали, у канатов — ниже из-за свивки: проволоки под нагрузкой не только растягиваются, но и плотнее прижимаются друг к другу.

Значения для канатов действуют, если канат предварительно вытянут усилием не менее 60 % разрывного: новый канат при первом нагружении удлиняется больше. У алюминия и его сплавов модуль упругости около 70 ГПа — втрое меньше, чем у стали, поэтому алюминиевая балка того же сечения под той же нагрузкой прогнётся примерно втрое сильнее.

У других материалов модуль упругости тоже ниже, чем у стали: у титановых сплавов — примерно вдвое, у меди и латуни — заметно, у бетона — в несколько раз. Поэтому в железобетоне стальная арматура при одинаковой деформации воспринимает гораздо большее напряжение, чем окружающий её бетон, а замена стальной детали на титановую ради массы требует проверки прогибов.

Модуль упругости разных марок стали

В отличие от предела прочности, модуль упругости стали мало зависит от марки: у углеродистых, низколегированных и легированных сталей он практически одинаков. Его определяют силы связи между атомами железа, а не структура, которую меняют содержание углерода, легирующие элементы и термообработка. Поэтому нормы проектирования дают одно значение 2,06·10⁵ МПа для всей прокатной стали и стальных отливок — для Ст3, 09Г2С, стали 45 или 40Х одинаково.

Отсюда практический вывод: если деталь из стали 20 прогибается слишком сильно, замена на 40Х с закалкой её жёсткость не увеличит. Прочность вырастет — деталь выдержит большую нагрузку без пластической деформации, — но упругий прогиб под той же нагрузкой останется прежним. Чтобы уменьшить прогиб, меняют сечение и схему: увеличивают высоту профиля, ставят рёбра, уменьшают пролёт.

С нагревом модуль упругости стали снижается, поэтому для конструкций, которые работают при высоких температурах, и для расчёта огнестойкости нормы дают пониженные значения. При обычных температурах эксплуатации берут значение из таблицы. Обозначения и состав марок — в статье о марках стали.

Модуль упругости и прочность стали

Модуль упругости и предел прочности часто путают, хотя это разные свойства стали. На диаграмме растяжения модуль упругости — наклон начального прямолинейного участка, а прочность — высота, до которой поднимается кривая.

Закон Гука работает до предела пропорциональности; чуть выше лежит предел упругости, после которого остаётся заметная остаточная деформация, а затем — предел текучести. Расчёт по модулю упругости имеет смысл, только пока напряжение ниже этих границ. Выше предела текучести начинается пластическая деформация, и поведение стали описывают уже другие показатели: пластичность — способность деформироваться без разрушения — модуль упругости не характеризует. Значения предела прочности и текучести по маркам — в статье о пределе прочности стали.

Расчёт с модулем упругости: формулы и пример

Модуль упругости входит во все расчёты деформаций — удлинения стержня, прогиба балки, устойчивости сжатого стержня. Основные формулы:

• Удлинение стержня при растяжении или сжатии: Δl = F · l / (E · A), где F — сила, l — длина, A — площадь поперечного сечения.
• Прогиб однопролётной балки под равномерной нагрузкой: f = 5 · q · l⁴ / (384 · E · I), где q — нагрузка на единицу длины, l — пролёт, I — момент инерции сечения. Произведение E · I называют изгибной жёсткостью.
• Критическая сила сжатого стержня (формула Эйлера): F_кр = π² · E · I / (μ · l)², где μ — коэффициент приведения длины по схеме закрепления.
• Угол закручивания вала: φ = T · l / (G · I_p), где T — крутящий момент, I_p — полярный момент инерции. Здесь вместо модуля Юнга — модуль сдвига.

Пример. Стальная тяга длиной 2 м из круга диаметром 20 мм растянута силой 50 кН. Площадь сечения A = 3,14 · 20² / 4 ≈ 314 мм², напряжение σ = 50 000 / 314 ≈ 159 МПа — ниже предела текучести стали 20 (245 МПа), значит, деформация упругая. Удлинение: Δl = 50 000 · 2 000 / (206 000 · 314) ≈ 1,55 мм. Если бы тягу сделали из алюминиевого сплава с модулем упругости около 70 ГПа, она при той же нагрузке вытянулась бы примерно на 4,5 мм.

Момент инерции для прокатных профилей и стальных труб берут из сортамента, модуль упругости — из нормативного документа, по которому ведут расчёт. В расчёте прогиба модуль упругости стоит в знаменателе вместе с моментом инерции, поэтому ошибка в единицах модуля даёт ошибку в прогибе в тысячи раз. Прежде чем подставлять значение, проверьте, что модуль, длины и нагрузки выражены в согласованных единицах.

Как определяют модуль упругости

Для стали модуль упругости обычно не измеряют, а берут из норм: он стабилен от плавки к плавке. Экспериментально его определяют, когда нужно проверить новый материал, сплав или композит, или когда расчётная модель требует точного значения. Основной способ — испытание на растяжение с точным измерением деформации:

1. Образец. Из металла вытачивают круглый или вырезают плоский образец с рабочей частью заданного сечения, как для обычного испытания на растяжение по ГОСТ 1497-84 или ГОСТ ISO 6892-1-2020.
2. Нагружение в упругой зоне. Образец растягивают на разрывной машине, а удлинение рабочей части измеряет экстензометр: на упругом участке деформация стали — сотые и десятые доли процента, и по перемещению захватов её не определить.
3. Расчёт. По записанной диаграмме «напряжение — деформация» находят наклон прямолинейного участка, где зависимость напряжения от деформации линейная: модуль упругости равен приращению напряжения, делённому на приращение относительной деформации.

Кроме статического способа используют динамические — по скорости ультразвука в материале или по частоте собственных колебаний образца. Они не разрушают образец и дают модуль упругости с хорошей точностью, но требуют специального оборудования. Чаще в лабораторию приходят с другой задачей: подтвердить, что металл по механическим свойствам — пределу текучести, прочности и удлинению — соответствует ГОСТ или сертификату.

Испытания металла в технопарке ЗЭМ

Испытательная лаборатория технопарка выполняет физико-механические испытания металлов и сварных соединений и выдаёт протокол с заключением о соответствии ГОСТ или ТУ.

• Разрывные машины усилием от 50 до 1000 кН — растяжение, сжатие, статический изгиб; подробно — на странице механических статических испытаний.
• Предел текучести, предел прочности, удлинение и сужение по ГОСТ 1497-84 и ГОСТ ISO 6892-1-2020; ударная вязкость и твёрдость — в той же лаборатории.
• Образцы изготавливают на станках технопарка, если у заказчика их нет: достаточно передать пробу металла или деталь.

В заявке укажите марку стали и стандарт, вид продукции и размер, состояние металла, количество образцов и норму, на соответствие которой нужно заключение.